鸡蛋在沸水中如何受热？《张朝阳的物理课》求解三维球体热传导方程

ERC20-usdt/TRC20-usdt互换（www.u2u.it）是最高效的ERC2换TRC20，TRC20换ERC20的平台.ERC2 USDT换TRC20 USDT，TRC20 USDT换ERC20 USDT链上匿名完成，手续费低。

怎么描述三维情况下的热传导方程？数学上需要进行什么样的处理？如何通过球体的Biot值Bi理解球体的导热过程？

2月17日、2月19日12时，《张朝阳的物理课》第一百二十三期、第一百二十四期开播，创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇直播间，先给网友们复习了一维情况下的热传导方程，然后通过球体的对称性求解了三维球体的热传导方程，并成功得到其温度分布。之后又通过不同的边界条件，借助正交基的方法，解释了不同材料在不同温度条件下的温度分布方程。

求解球体在恒温液体中的温场分布 以及Biot数的物理意义和图解方法

在之前的直播课程中已介绍过一维热传导方程：

其中κ是傅里叶导热定律中的系数，ρ是物质密度，Cv是单位质量的定体热容。与此类似，可以知道三维情况下的热传导方程如下:

对于一个球体而言，张朝阳用分离变量的方法：

代入可得，又由于两边变量独立，所以它们相等就要都等于一个常数，这里设它为λ：

对于时间函数g(t)有:

这里可以知道g(t)应该是一个e指数的形式

然后对于h(r):

同时使用比耐变换（Binet Equation，即通过将换元的方法化简方程，也可用于中心力场的公式推导）可以得到如下方程

这里猜测u(r)的形式为正弦和余弦函数，所以h(r)的形式是正弦和余弦函数除以r的形式，再结合前面g(t)的e指数形式，可以得到T(r,t)的形式为：

首先使用球体的边界条件，即球体温度关于球体中心对称且球心处热流为0：

代入前面的方程，可以发现余弦项的系数必须取0才能保证边界条件始终成立（由于余弦函数和r的比值是奇函数，且它的导数在r = 0的地方趋近于无穷大，所以Bk必须取0才能满足求新的边界条件）

建立一个类似于鸡蛋在沸水中的模型，在这种情况下可以认为球体外部是一个恒温液体环境，也即假设外界的热容无限大。根据牛顿冷却定律（即一个物体所损失的热的速率与物体和其周围环境间的温度差为正比例关系）可以列出以下方程